Question

设过原点O的直线与圆C：x²+（y-1）²=1相交于两点O，P，点M为线段OP的中点．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）圆C：x²+（y-1）²=1，即圆x²+y²-2y=0，求得圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设点P的极坐标为（ρ₁，θ₁），点M的极坐标为（ρ，θ），根据点M为线段OP的中点，可得ρ₁=2ρ，θ₁=θ，将ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圆的极坐标方程，求得点M轨迹的极坐标方程．

解答： 解：（Ⅰ）圆C：x²+（y-1）²=1，即圆x²+y²-2y=0，
∴圆C的极坐标方程为ρsinθ=2；
（Ⅱ）设点P的极坐标为（ρ₁，θ₁），点M的极坐标为（ρ，θ），
∵点M为线段OP的中点，∴ρ₁=2ρ，θ₁=θ，
将ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圆的极坐标方程，得ρ=sinθ．
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=sinθ，它表示圆．

点评：本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求点的轨迹方程，属于基础题．