Question

设函数f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）．
（1）当a=-9时，求函数f（x）的极大值；
（2）当a＜3时，试求函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）的图象与函数φ（x）=-xlnx的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）当a=-9时，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3或x=-1，列表讨论能求出函数f（x）的极大值．
（2）利用导数大于0，可得函数f（x）的单调增区间；
（3）由f（x）=-xlnx，得a=-x²+3x-lnx，构造函数h（x）=-x²+3x-lnx，则h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，列表讨论，能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-9时，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3，x=-1，（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

所以当x=-1时，函数f（x）取得极大值为5．…（4分）
（2）因为f'（x）=3x²-6x+a，当a＜3时，方程f'（x）=0有相异两实根为1±

1- a 3

，
令f'（x）＞0，得x＞1+

1- a 3

或x＜1-

1- a 3

，…（7分）
所以函数f（x）的递增区间为(-∞，1-

1- a 3

)，(1+

1- a 3

，+∞)．…（10分）
（3）由f（x）=-xlnx，得x³-3x²+ax=-xlnx，即a=-x²+3x-lnx，…（12分）
令h（x）=-x²+3x-lnx，则h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，
列表，得

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值 5 4 +ln2	递增	极大值2	递减

…（14分）
由题意知，方程a=h（x）有三个不同的根，故a的取值范围是(

5

4

+ln2，2)．…（16分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．