Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=

3

，则a+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出a+c的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）将已知等式bcosC=（2a-c）cosB，
利用正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
整理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=

3

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理可知b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3（

a+c

2

）²，即a+c≤2

3

，
当且仅当a=c=

3

时取等号，
则a+c的最大值为2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．