Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx-1，g（x）=lnx+ax²+x（a∈R），令φ（x）=f（x）+g′（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求φ（x）的极值；
（Ⅱ）当a≤-2时，求φ（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=

1

x

+2ax+1，由此能求出当x=

1

2

时，φ（x）的极值．
（2）由已知得φ′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

，由此利用导数性质能求出φ（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵g′(x)=

1

x

+2ax+1，φ（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax，x∈（0，+∞），
当a=0时，φ（x）=2lnx+

1

x

，φ′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
令φ′（x）=0，得x=

1

2

，
当x∈（0，

1

2

），φ′（x）＜0，φ（x）单调减，
当x∈（

1

2

，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以当x=

1

2

时，φ（x）有极小值φ（

1

2

）=2-2ln2，无极大值．…（7分）
（2）φ′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

，x＞0，
当a=-2时，φ（x）的减区间为（0，+∞），无增区间．…（10分）
当a＜-2时，φ（x）的减区间为（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
增区间为（-

1

a

，

1

2

）．…（12分）

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．