Question

已知函数f（x）=lnax+bx+

a

x

在x=-1时取极值．
（1）求b的取值范围；
（2）若a=-1函数f（x）=2x+m有两个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,数形结合,导数的综合应用

分析：（1）注意到题目中f（x）在x=-1有定义，初步判断a＜0；另外，根据f′（-1）=0且-1是其极值点，列出等式，用b表示a代入计算；
（2）结合着定义域，原题可转化成方程ln（-x）-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有两个不等实根．令-x=t，则问题又进一步转化为方程lnt+

1

t

+2t=m在（0，+∞）上有两个不等实根，再通过求导的方法对函数g（x）=lnx+

1

x

+2x进行分析，求出最小值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnax+bx+

a

x

的导数f′（x）=

1

x

+b-

a

x2

=

bx2+x-a

x2

，
∵f（x）在x=-1处取极值，
∴f′（-1）=0，即b=1+a，且a＜0，
由判别式大于0得，1+4ab＞0，即（2a+1）²＞0，解得a≠-

1

2

，
∴b的取值范围是b＜1且b≠

1

2

；
（2）当a=-1时，b=1+a=0，即方程ln（-x）-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有两个不等实根，
即方程lnx+

1

x

+2x=m在（0，+∞）上有两个不等实根，
令g（x）=lnx+

1

x

+2x（x＞0），则g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

∴g（x）在（0，

1

2

）上单调递减，（

1

2

，+∞）上单调递增，
∴当x=

1

2

时，g（x）min=g（

1

2

）=3-ln2．
又当x→0，g（x）→+∞；x→+∞，g（x）→+∞，
∴当m＞3-ln2时，方程f（x）=2x+m有两个不等实根．

点评：本题考查导数的综合运用，求单调区间、求极值、求最值，同时考查参数分离法，及构造函数求最值，属于中档题．