Question

已知函数f（x）=x³-ax²+b在点（1，1）处的切线方程为y=x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质，建立a，b的方程求解即可；
（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极大值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax…（1分）
由题意得：

f′(1)=3-2a=1 f(1)=1-a+b=1

…（3分）
解得：a=1，b=1…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2x=x（3x-2）=0…（7分）
解得：x1=0，x2=

2

3

…（9分）
∴f(x)在(-∞，0)单调递增，在[0，

2

3

]单调递减，在[

2

3

，+∞]单调递增…（10分）
∴f（x）_极大=4…（12分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．