Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=5，a₄=9，数列{b_n}正项的等比数列，S_n是其前n项和，且S₂=

3

2

，S₄=

15

8

，数列{c_n}，通项c_n=a_n•b_n，则求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用待定系数法，设首项和公差及公比，由已知列方程组，可得数列{a_n}和{b_n}的通项公式，进而利用错位相减的方法求得T_n．（一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和）

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，正项等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
由a₂=5，a₄=9，可得d=2，
故a_n=2n+1，
由S₂=

3

2

，S₄=

15

8

，可得S₄-S₂=

3

8

，
故

S4-S2

S2

=q²=

1

4

，
故q=

1

2

，b₁=1，
故b_n=(

1

2

)n-1，
故c_n=a_n•b_n=（2n+1）(

1

2

)n-1，
∴T_n=3×1+5×

1

2

+7×(

1

2

)2+9×(

1

2

)3+…+（2n-1）(

1

2

)n-2+（2n+1）(

1

2

)n-1，…①

1

2

T_n=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（2n-3）(

1

2

)n-2+（2n-1）(

1

2

)n-1+（2n+1）(

1

2

)n，…②
①-②得：

1

2

T_n=3+2×

1

2

+2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n-1-（2n+1）(

1

2

)n
=1+4[1-(

1

2

)n]-（2n+1）(

1

2

)n=5-（2n+5）(

1

2

)n
故T_n=10-（4n+10）(

1

2

)n

点评：本题是数列求通项和前n项和的题型，高考常见，其中：
（1）可利用利用待定系数法求解，这是解数列题的一般方法，要熟练掌握．
（2）对于一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和，这也是教材推导等比数列前n项和公式时的方法．另外数列求和的方法还有倒序相加，裂项相消，分组求和等方法，要熟练掌握．都是高考中常考的知识点．