Question

△ABC中，

3

tanBtanC-tanB-tanC=

3

，sin（B-C）=cosBsinC，则

sinB

sinC

=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由条件求得 tan（B+C）=-

3

，可得 B+C=

2π

3

，A=

π

3

．由sin（B-C）=cosBsinC，求得sinA=3cosBsinC．再由正弦定理、余弦定理可得a²+3c²-3b²=0，再根据a²=b²+c²-bc，可得2b²+bc-4c²=0，即 2(

b

c

)2+

b

c

-4=0，由此求得

b

c

=

sinB

sinC

 的值．

解答： 解：△ABC中，∵

3

tanBtanC-tanB-tanC=

3

，即tanB+tanC=-

3

（1-tanBtanC），∴tan（B+C）=

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

3

，
∴B+C=

2π

3

，∴A=

π

3

．
∵sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=cosBsinC，∴sinBcosC=2cosBsinC，
∴sin（B+C）=3cosBsinC，即sinA=3cosBsinC．
再由正弦定理可得 a=3c•cosB=3c•

a2+c2-b2

2ac

，∴a²+3c²-3b²=0．
再根据a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，可得2b²+bc-4c²=0，即 2(

b

c

)2+

b

c

-4=0，∴

b

c

=

sinB

sinC

=

33 -1

4

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，等差数列的定义和性质，两角和差的三角公式，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．