Question

9．某工厂生产某种产品，成本C（单位：万元）与年产量x，（0≤x≤15，单位：千台）的函数关系为C（x）=2-x．销售收入S：（单位：万元）与年产量x有函数关系S（x）=$-{\frac{1}{3}x}^{2}$+5x．
（1）试求利润y与产量x的关系式；
（2）年产量为多少台时利润最大，最大利润是多少？（总利润=总收益-总成本）．

Answer 1

分析 （1）利用“总利润=总收益-总成本”代入计算即得结论；
（2）通过（1）结合函数y=$-{\frac{1}{3}x}^{2}$+6x-2的图象及0≤x≤15可知当x=9时y取最大值，进而计算即得结论．

解答 解：（1）∵总利润=总收益-总成本，
∴y=S（x）-C（x）=$-{\frac{1}{3}x}^{2}$+5x-（2-x）=$-{\frac{1}{3}x}^{2}$+6x-2（0≤x≤15）；
（2）由（1）可知函数y=$-{\frac{1}{3}x}^{2}$+6x-2的图象是以x=-$\frac{6}{2×（-\frac{1}{3}）}$=9为对称轴、开口向下的抛物线，
又∵0≤x≤15，
∴当x=9时，y取最大值-$\frac{1}{3}$×9²+6×9-2=25，
∴年产量为9千台时利润最大，最大利润是25万元．

点评 本题是一道关于函数的简单应用题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．