Question

14．已知函数f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函数．
（1）求a，b的值；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函数．则f（-x）=f（x），且a+b=0，解得求a，b的值；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，即，-x²-2x+2＞m恒成立，构造函数h（x）=-x²-2x+2，求出函数的最小值，可得实数m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函数．
∴f（-x）=f（x），且a+b=0，
即ax²-（b-1）x+b+1=ax²+（b-1）x+b+1，a+b=0，
解得：b=1，a=-1．
（2）由（1）得：f（x）=-x²+2，
若在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，
则在区间[-1，1]上，-x²+2＞2x+m恒成立，
即在区间[-1，1]上，-x²-2x+2＞m恒成立，
令h（x）=-x²-2x+2，则函数的图象是开口朝下，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故h（x）在区间[-1，1]上为减函数，当x=1时，函数取最小值-1，
故m＜-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．