Question

4．已知（t²-4）¹⁰=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+…a₂₀t²⁰
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₃+a₅+…a₁₉的值；
（3）求a₀+a₂+a₄+…a₂₀的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得a₂的值．
（2）令t=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₂₀ =3¹⁰，令t=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀ =3¹⁰，两式相减除以2求得a₁+a₃+a₅+…a₁₉的值．
（3）由（2）求得a₀+a₂+a₄+…a₂₀ 的值．

解答 解：（1）由于（t²-4）¹⁰的通项公式为 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-4）^r•t^20-2r，令20-2r=2，求得r=9，
故a₂ =-4⁹•10．
（2）令t=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₂₀ =3¹⁰，令t=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀ =3¹⁰，
两式相减除以2求得a₁+a₃+a₅+…a₁₉=0．
（3）由（2）求得a₀+a₂+a₄+…a₂₀ =3¹⁰．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．