Question

6．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2．
（1）证明：{S_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b₁=$\frac{1}{2}$，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$（n≥2），求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=3S_n+2，变形为：S_n+1+1=3（S_n+1），即可证明．再利用递推关系即可得出a_n．
（2）n≥2时，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 证明：（1）∵S_n+1=3S_n+2，变形为：S_n+1+1=3（S_n+1），
∴{S_n+1}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴S_n+1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）n≥2时，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$=$\frac{2×{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}-1）（{3}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}$．
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}）$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．