【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,△PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求三棱锥P—ABC的体积;
(3)在棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD?若存在,
请确定点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】分析:(1)先根据面面垂直性质定理得CD⊥平面PAD,再根据面面垂直判定定理得结果,(2)取AD的中点O,根据面面垂直性质定理得PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P—ABC的高,最后根据三棱锥体积公式得结果,(3)先探索得 E为PC的中点,取CP,CD的中点E,F,利用平几知识得四边形ABFD为平行四边形,即得BF∥AD,再根据线面平行判定定理得结论.
详解:(1)证明 因为AB∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
因为CD平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)解 取AD的中点O,
连接PO.
因为△PAD为正三角形,
所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,
所以PO为三棱锥P—ABC的高.
因为△PAD为正三角形,CD=2AB=2AD=4,
所以PO=.
所以V三棱锥P—ABC=S△ABC·PO
=×
×2×2×
=
.
(3)解 在棱PC上存在点E,当E为PC的中点时,
BE∥平面PAD.
分别取CP,CD的中点E,F,连接BE,BF,EF,
所以EF∥PD.因为AB∥CD,CD=2AB,
所以AB∥FD,AB=FD,
所以四边形ABFD为平行四边形,
所以BF∥AD.
因为BF∩EF=F,AD∩PD=D,
所以平面BEF∥平面PAD.
因为BE平面BEF,
所以BE∥平面PAD.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度
(单位:辆/千米)
的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,就会造成堵塞,此时车流速度为0;当
车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,
车流速度是车流密度
的一次函数.
(1)当时,求函数
的表达式;
(2)如果车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数) (单位:辆/小时),那么当车流密度
为多大时,车流量
可以达到最大,并求出最大值.(精确到
辆/小时).
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【题目】空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.
指数 | 级别 | 类别 | 户外活动建议 |
Ⅰ | 优 | 可正常活动 | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 轻微污染 | 易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动. | |
轻度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动. | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人运动耐受力降低,由明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动. |
现统计邵阳市市区2016年1月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这60天中属轻度污染的天数;
(2)求这60天空气质量指数的平均值;
(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,…,第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为,
,求事件
的概率.
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【题目】如图,以等腰直角三角形斜边上的高
为折痕,把
与
折成互相垂直的两个平面后,有以下四个结论:
①;
②;
③三棱锥是正三棱锥;
④平面的法向量和平面
的法向量互相垂直.
其中正确结论的序号是________________(请把正确结论的序号都填上).
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】已知向量,函数
的最小值为
.
(1)当时,求
的值;
(2)求;
(3)已知函数为定义在上的增函数,且对任意的
都满足
,问:是否存在这样的实数
,使不等式
对所有
恒成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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