Question

如图：已知平面//平面，点A、B在平面内，点C、D在平面内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点。

求证：（Ⅰ）E、F、G、H四点共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面。

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
又∵G、H是线段BD、AD的中点，
∴GH∥AB，
∴EF∥GH，
所以，E、F、G、H四点共面。
（Ⅱ）∵平面∥平面，点A、B在平面内，
∴AB∥平面，
设平面ABC与平面的交线为CP，
∵直线AB与CD是异面直线，
∴CP与CD是交线，
∵AB//平面，
∴AB//CP， 又EF∥AB，
∴EF∥CP，
∴EF∥平面，
∵点E、H是线段AC、AD的中点，
∴EH∥CD，
∴EH∥平面，
所以，平面EFGH∥平面。