Question

如图，已知平面a与平面交于a，b在b内．且b与a交于A，c在内，且c∥a，求证b、c是异面直线．

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：假设b、c不是异面直线，它们同在平面g内． ∵平面a、g均过直线c与点A， ∴a与g，a重合a在内．∴a在γ内． 又∵γ与b均过直线a与b， ∴b与γ重合，从而a与b重合，这与题设a与b交于a相矛盾． B、c是异面直线． 证法二：假设b、c不是异面直线，则b与c相交或平行． 若b与c相交，∵a∥c,a与b相交，从而a、b、c在同一平面内．即平面a与b重合，这与题设a与b交于a矛盾． 若b与c平行，∵a∥c，∴a∥b，这与题设a与b交于A矛盾． 综上可知，b与c是异面直线． 证法三：在b上取一点P(不同于A)，则Pa， ∵ca，Ac，∴PA与c是异面直线。 即b与c是异面直线． 点评：证明两条直线是异面直线通常用反证法，其中证法二列举了b、c不是异面直线的两种情况，相交或平行．证法三利用了教材第14页例3的结论，该结论就是异面直线的判定方法，以后再判定异面直线时，可直接利用这个结论．