Question

8、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱DD₁，AB上的点．已知下列判断：①A₁C⊥平面B₁EF；②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上  的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；④平 面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可

解答：解：如图
对于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因为A₁C⊥平面AC₁D，而两个平面面B₁EF与面AC₁D不一定平行．
对于②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上  的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB₁，而E点在面上的投影到此棱BB₁的距离是定值，故正确；
对于③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于④平 面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确
综上，②③是正确的
故选B

点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，二面角的求法等知识，涉及到的知识点较多，综合性强．