Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是所在棱的三等分点，且BF=DE=C1G=C1H=

1

3

AB．
（1）证明：直线EH与FG共面；
（2）若正方体的棱长为3，求几何体GHC₁-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）先证EF∥GH，从而证明EF，GH共面，即EH，FG共面；
（2）先证明EH、FG、CC₁交于一点，即证明几何体GHC₁-EFC为棱台，再代入棱台的体积公式计算．

解答：解：（1）证明：连接BD、B₁D₁，∵C₁H=C₁G，∴

C1H

HD1

=

C1G

GB1

，∴HG∥D₁B₁
同理，由BF=DE，可得EF∥DB，又D₁B₁∥BD，∴HG∥EF．
∴HG、EF在平面EFHG中，由EH?平面EFHG，FG?平面EFHG，
∴直线EH与FG共面．
（2）由（1）知EH与FG共面不平行，设EH∩FG=0，
∵平面BCB₁C₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，∴O∈CC₁，即EH、FG、CC₁交于一点，
∴几何体GHC₁-EFC为三棱台．
C₁G=C₁H=1，CE=CF=2，CC₁=3，S₁=

1

2

，S₂=2，
∴V=

1

3

×（

1

2

+

1 2 ×2

+2）×3=

7

2

．

点评：本题主要考查了棱台的性质及棱台的体积计算，考查了线共面及线共点问题，要注意棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，这一性质．