Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积．
（1） 如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=

 

．
（2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=

 

．

Answer 1

分析：（1） 如果球O和这个正方体的六个面都相切，那么球的直径就是正方体的棱长，然后直接求出球的表面积．
（2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，推出球的直径就是正方体的面对角线的长，求出半径，即可求出球的表面积．

解答：解：（1） 如果球O和这个正方体的六个面都相切，那么球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：

a

2

，球的表面积：4π(

a

2

)2=πa2
（2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则球的直径就是正方体的面对角线的长，球的半径为：

2 a

2

，球的表面积：4π(

2 a

2

)2=2πa²
故答案为：（1）πa²；（2）2πa²

点评：本题考查球的外接体，球的表面积的计算，正确理解球与正方体的面相切，与正方体的棱相切，得到直径与棱长或面对角线的关系才能正确快速解得本题，是基础题．