Question

已知函数y=f(x)(x∈R且x≠0)，对于任意两个非零实数x₁、x₂，恒有f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)，试判断函数f(x)的奇偶性.

Answer 1

解析：对抽象函数奇偶性的判定，因无具体的解析式，因此需要利用给定的函数方程式，对变量x₁、x₂赋值，将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.

答案：由题意知f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.

    令x₁=x₂=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，

    令x₁=x₂=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0，

    取x₁=-1，x₂=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，

∴函数是偶函数.