Question

【题目】已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.

（1）求双曲线的方程；

（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，若，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在直角三角形，根据可得通径的一半与焦距的关系，从该关系式中可求离心率.

（2）设的方程为，联立直线方程和双曲线方程，消去后利用韦达定理可用表示及 ，再利用与圆相切可得，利用该式化简可得的值为.

（1）根据已知条件得，

∴焦点坐标为，轴，.

在直角三角形中，，

解得，于是所求双曲线方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，则，于是，

此时，.

②当直线的斜率存在时，设的方程为，切线与的交点坐标为，

于是有，消去得.

故.

∵为的中点，即坐标为.

则，

，

又点到直线的距离为即.

代入得：，，故.