Question

如图,已知△P₁OP₂的面积为,=2,求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

 

Answer 1

解:以O为原点，∠P₁OP₂的平分线为x轴建立直角坐标系，设双曲线的方程为,由于双曲线的离心率为，∴e²=.?

∴.∴两条渐近线的方程为y=±x.                                                               ?

由此设点P₁(x₁,x₁),P₂(x₂,-x₂)(x₁＞0,x₂＞0),由题设知点P分P₁P₂所成的比λ=2,得点P的坐标为(,),又点P在双曲线上，?

∴-=1,即(x₁+2x₂)²-(x₁-2x₂)²=9a².∴8x₁x₂=9a².                ①

又|OP₁|==x₁, |OP₂|=x₂且sin∠P₁OP₂=.

?

∴S_△=|OP₁||OP₂|sin∠P₁OP₂=×x₁x₂×=,由此得x₁x₂=.代入①式得a²=4,?

∴b²=9,所求方程为.