Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；
（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；
（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？

Answer 1

【答案】
（1）解：对f（x）进行求导：f'（x）= +2ax+b

当a=1时，f（x）=lnx+x2+bx，f'（x）= +2x+b

当x=1时，f（1）=1+b，f'（1）=3+b

故切线方程为：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1）

点（2，6）满足切线方程，故b=

（2）解：由题意，f（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，x＞0

则：f'（x）= +2ax+a2+2=

当a=0时，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上为增函数，故最大值为f（4）=8；

当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上为增函数，故最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

当a＜0时，令f'（x）=0，则导函数有两个零点：x1=﹣ ，x2=﹣ ．

（i）当a＜ 时，∵ ， ∴x1＜x2，

f（x）在（0，﹣ ），（﹣ ，+∞）上单调递减，在（﹣ ，﹣ ）上单调递增；

①当﹣ ＜ ＜1＜4≤﹣ 时，即a≤﹣8，此时最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

②当﹣ ＜ ＜1＜﹣ ≤4时，即﹣8≤a＜﹣2，此时最大值为f（﹣ ）=aln（﹣ ）﹣ ﹣a；

③当 ＜ ＜ ≤1＜4时，即﹣2≤a＜﹣ ，此时最大值为f（1）=a2+a+2；

（ii）当a=﹣ 时， ，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上单调递减，最大值为f（1）=4﹣ ；

（iii）当﹣ ＜a＜0时， ， ∴x1＞x2

f（x）在（0，﹣ ），（﹣ ，+∞）上单调递减，（﹣ ，﹣ ）上单调递增；

①当 时，即 ≤a＜0，最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

②当﹣ ＜ ＜1＜﹣ ≤4时，即﹣1＜a≤ ，最大值为f（﹣ ）=aln（﹣ ）﹣a﹣ ；

③当﹣ ＜ ＜﹣ ≤1＜4时，即﹣ ＜a≤﹣1，最大值为f（1）=a2+a+2

（3）解：由题意知：f（x）=

由①②化简后：alnx﹣a﹣ax2=x则说明 a（lnx﹣x2﹣1）=x 有两个根；

∵a＞0，x＞0∴ =

即 y= 与 y=h（x）= 在（0，+∞）上有两个不同交点．

h'（x）= ，令F（x）=2﹣x2﹣lnxF'（x）=﹣2x﹣ ＜0；

∴F（x）在x＞0上单调递减；

∵F（1）＞0，F（ ）＜0∴F（x）的零点为x0∈（1， ），

故F（x0）=0，即2﹣ ﹣lnx0=0lnx0=2﹣ ③；

所以，h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）上单调递增；

h（x0）= = = ，h（x0）∈（﹣ ，﹣1）；

故h（x）的图形如右图：

当 ＜0时即a＜0，h（x）图形与y= 图形有两个交点，与题设a＞0

相互矛盾，故a不存在．

【解析】（1）由题意a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），利用导数函数的几何性质求解b的值；（2）b=a2+2，求函数f（x），求其导函数，讨论在区间[1，4]上的最大值；（3）根据函数g（x）的不动点新定义，求其f（x）定义域，当a＞0时，g（x0）=x0讨论函数f（x）有两个不同的不动点；同时求函数f（x）的极值点，即可知道两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．