Question

3．设实数a＞1，b＞1．则“a＜b”是“lna-lnb＞a-b”成立的充要条件．（请用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．

Answer 1

分析 可设f（x）=lnx-x，x＞1，通过求导数，便可判断该函数在（1，+∞）上单调递减，而由lna-lnb＞a-b得到lna-a＞lnb-b，即f（a）＞f（b），从而得出“a＜b”等价于“lna-lnb＞a-b”，从而得出答案为充要条件．

解答 解：设f（x）=lnx-x，x＞1，则$f′（x）=\frac{1-x}{x}＜0$；
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴a＜b?f（a）＞f（b）；
即a＜b?lna-a＞lnb-b；
∴a＜b?lna-lnb＞a-b；
∴“a＜b”是“lna-lnb＞a-b”的充要条件．
故答案为：充要．

点评 考查构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，减函数定义的运用，等价关系及充要条件的概念．