Question

14．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin²A+sin²B+sin²C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；
（2）由sinA=cosB=$sin（\frac{π}{2}-B）$，A，B∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$-B，或A+$\frac{π}{2}$-B=π，即可判断出正误；
（3）由sin²A+sin²B+sin²C＜2，利用倍角公式可得：$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；
（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函数的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判断出正误．

解答 解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
（2）若sinA=cosB=$sin（\frac{π}{2}-B）$，∵A，B∈（0，π），∴A=$\frac{π}{2}$-B，或A+$\frac{π}{2}$-B=π，解得A+B=$\frac{π}{2}$或$A-B=\frac{π}{2}$，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；
（3）∵sin²A+sin²B+sin²C＜2，∴$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos²A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，
∴cosA[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．
以上正确的命题是：（3）（4）．
故答案为：（3）（4）．

点评 本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．