Question

8．已知直线L：y=kx-1与椭圆C：3x²+y²=2．
（1）求证：直线L与椭圆C总有两个交点．
（2）假设直线L与椭圆C的两个交点为A、B，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求k的值
（3）若三角形AOB的面积为$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直线方程与椭圆方程联立可得（3+k²）x²-2kx-1=0，只要证明△＞0即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根据以线段AB为直径的圆经过坐标原点，可得：OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，利用根与系数的关系代入即可得出．
（3）由（2）得：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，又点O到直线L的距离是：$d=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{3{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$得（3+k²）x²-2kx-1=0，
∴△=4k²+4（3+k²）=8k²+12＞0，
∴直线L与椭圆C总有两个交点．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由（1）得${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{3+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{{3+{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{{3-2{k^2}}}{{3+{k^2}}}$，
∵以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
∴OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$-\frac{1}{{3+{k^2}}}+\frac{{3-2{k^2}}}{{3+{k^2}}}=0$，∴k=±1．
（3）由（2）得：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{2{k^2}+3}}}{{3+{k^2}}}$，
又点O到直线L的距离是：$d=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{\sqrt{2{k^2}+3}}}{{3+{k^2}}}=\frac{1}{2}$．
解得$k=±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．