Question

13．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，若$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，则m的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

Answer 1

分析 根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得OD⊥AB，代入已知的等式中，连接OD，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以$\overrightarrow{AB}$，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入即可用θ的三角函数表示出m．

解答 解：如图所示，取AB的中点D，连接OA，OD，
由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$=0．
∵$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$入已知若$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
两边与作数量积得到$\frac{cosB}{sinC}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2m$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+2m$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$sin²c+$\frac{cosC}{sinB}$•bccosA=2m•$\frac{1}{2}{c}^{2}$=mc²．
由正弦定理可得$\frac{cosB}{sinC}$sin²c+$\frac{cosC}{sinB}$•sinBsinCcosA=msin²C．
化为cosB+cosCcosA=msinC，
∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
∴sinAsinC=msinC，
∴m=sinA．
∵tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinA═$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题综合考查了三角形外接圆的性质、垂径定理、正弦定理、数量积运算性质、两角和差的余弦公式、三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．