Question

已知函数f（x）=2sin(2x-

π

6

)，x∈R．
（1）求使函数f（x）取得最大值﹑最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值﹑最小值是什么；
（2）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为偶函数？请写出一种正确的平移方法，并说明理由；
（3）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的最值，求出函数的最大值、最小值及取得最大值、最小值的对应自变量x取值集合；
（2）根据左加右减法则和诱导公式，对解析式进行变形即可；
（3）由x得范围求出2x-

π

6

范围，根据正弦函数的性质求出最大值、最小值，即求出函数的值域．

解答：解：（1）当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

+kπ（k∈z）时，
此时sin(2x-

π

6

)=1，f（x）取得最大值是2，
使f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=

π

3

+kπ，k∈z}，
当2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

+kπ（k∈z）时，
此时sin(2x-

π

6

)=-1，f（x）取得最小值是-2，
使f（x）取得最小值的自变量x的集合是{x|x=-

π

6

+kπ，k∈z}，
（2）把函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位长度，可使其对应的函数g（x）成为偶函数； 
因为g(x)=f(x+

π

3

)=2sin(2(x+

π

3

)-

π

6

)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x，所以g（x）为偶函数．
（或：函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度）
（3）因为-

π

12

≤x≤

π

2

，即-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，

当2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

时，f(x)min=2sin(-

π

3

)=-

3

；

当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f(x)max=2sin(

π

2

)=2；

所以，函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域是[-

3

，2]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，三角函数图象的变换，关键是利用正弦函数的单调性、最值，考查整体思考和计算能力．