Question

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．
（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；
（2）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）或（2）

解析试题分析：（1）首先利用递推公式把都用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值，注意根据绝对值的定义要对的取值范围分类计论.
（2）对于这类开放性问题，处理的策略就是先假设存在a₁，使数列{a_n}为等差数列，与（1）类似，根据成等差数列，有，从面得到关于的方程，方程若有解则存在，否则可认为不存在a₁，使数列{a_n}为等差数列.
试题解析：（1）∵a₁＞0，∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|．
当0＜a₁≤2时，a₃＝2－(2－a₁)＝a₁，∴a₁²＝(2－a₁)²，解得a₁＝1．
当a₁＞2时，a₃＝2－(a₁－2)＝4－a₁，∴a₁(4－a₁)＝(2－a₁)²，解得a₁＝2－（舍去）或a₁＝2＋．
综上可得a₁＝1或a₁＝2＋．                    6分
（2）假设这样的等差数列存在，则
由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝a₁＋(2－|2－a₁|)，即|2－a₁|＝3a₁－2．
当a₁＞2时，a₁－2＝3a₁－2，解得a₁＝0，与a₁＞2矛盾；
当0＜a₁≤2时，2－a₁＝3a₁－2，解得a₁＝1，从而a_n＝1（n∈N^*），此时{a_n}是一个等差数列；
综上可知，当且仅当a₁＝1时，数列{a_n}为等差数列．         12分
考点：1、等差数列、等比数列的定义；2、分类讨论的思想.