Question

已知二次函数f（x）=x²+mx+1（m∈z），且关于x的方程f（x）=2在区间(-3，

1

2

)内有两个不同的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g(x)=m-|x2-1|-k，若g（x）有且仅有两个零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意转化为函数g（x）=x²+mx-1在区间(-3，

1

2

)内有两个不同的零点（图象与x轴有两个不同的交点），由二次函数的性质列出等价不等式组，再求出m的值，代入解析式求解；
（2）由题意得g(x)=m-|x2-1|-k=0，由（1）化简后由指对互化得，-|x²-1|=log₂k有两个不同的实根，再画出y=-|x²-1|的图象，列出不等式由对数函数的性质求解．

解答：解：（1）由f（x）=2得，x²+mx-1=0，
则方程x²+mx-1=0在区间(-3，

1

2

)内有两个不同的实根，
即函数g（x）=x²+mx-1在区间(-3，

1

2

)内有两个不同的零点（图象与x轴有两个不同的交点），
∴

△=m2+4＞0 -3＜- m 2 ＜ 1 2 g(-3)=9-3m-1＞0 g( 1 2 )= 1 4 + m 2 -1＞0

，解得

3

2

＜m＜

8

3

，
∵m∈z，∴m=2，
则函数的解析式是f（x）=x²+2x+1，
（2）由g(x)=m-|x2-1|-k=0得，2-|x2-1|=k，
即-|x²-1|=log₂k有两个不同的实根，
画出y=-|x²-1|的图象：

由图得，log₂k＜-1或log₂k=0，
解得0＜k＜

1

2

或k=1，
故k的取值范围：0＜k＜

1

2

或k=1．

点评：本题主要考查了方程的根与函数零点之间的转化问题，利用二次函数的性质和对数函数的性质化简，考查了数形结合思想和基本的作图能力．