Question

已知xy-z=0，且0＜

y

z

＜

1

2

，则

xz2-4yz

x2z2+16y2

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：首先，根据xy-z=0，得到xy=z，x=

z

y

，然后，结合0＜

y

z

＜

1

2

，得到x＞2，最后，求解待求式的倒数的取值范围，然后，转化成待求式的范围问题．

解答： 解：∵xy-z=0，
∴xy=z，x=

z

y

，
∵0＜

y

z

＜

1

2

，
∴x＞2，
∴t=

xz2-4yz

x2z2+16y2

=

x3y2-4xy2

x4y2+16y2

=

x3-4x

x4+16

=

x(x2-4)

x4+16

，
∴

1

t

=

(x2-4)2+8x2

x(x2-4)

=

x2-4

x

+

8x

x2-4

≥2

8

=4

2

，
∴t≤

1

4 2

=

2

8

．
∴

xz2-4yz

x2z2+16y2

的最大值是

2

8

．
故答案为：

2

8

．

点评：本题重点考查基本不等式及其应用，不等式的基本性质等知识，属于中档题．