Question

3．设|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知条件对$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$两边平方便可得到$1-4\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+8=5$，这样即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，根据向量夹角的范围即可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角的大小．

解答 解：根据条件：$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=5$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=$1-4\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+8=5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 考查数量积的运算，及数量积的计算公式，向量夹角的概念及其范围．