Question

13．已知θ∈（0，π），求函数y=$\frac{1}{sinθ（cosθ-1）}$的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx（cosx-1），x∈（0，π），由三角函数公式和基本不等式可得t≥-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，由反比例函数的值域可得．

解答 解：记分母为t=sinx（cosx-1），x∈（0，π），
∴t=sinx（cosx-1）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$（1-2sin²$\frac{x}{2}$-1）
=-2sin³$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=-4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（sin$\frac{x}{2}$•sin$\frac{x}{2}$•sin$\frac{x}{2}$•$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$）
≥-4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$（\frac{si{n}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}+3co{s}^{2}\frac{x}{2}}{4}）^{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
即t=sinx（cosx-1）∈[-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0），∴$\frac{1}{t}$∈（-∞，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$]，
∴函数的值域为：（-∞，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$]

点评 本题考查三角函数的值域，涉及换元法和基本不等式求最值，属中档题．