Question

18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（2）=1，解不等式f（x+2）-f（2x）＞2；
（5）比较f（$\frac{m+n}{2}$）与$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）令m=m=1，即可求f（1）的值；
（2）根据抽象函数的关系即可证明f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（2）=1，求出f（4）=2，将不等式进行转化即可解不等式f（x+2）-f（2x）＞2；
（5）利用作差法即可比较f（$\frac{m+n}{2}$）与$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大小．

解答 解：（1）∵f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），
∴令m=n=1，可得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
则f（1）=0．
（2）∵f（x）=f（$\frac{x}{y}$•y）=f（$\frac{x}{y}$）+f（y），
∴f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）证明：设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）为增函数．
（4）若f（2）=1，则f（2）+f（2）=f（4）=2，
则不等式f（x+2）-f（2x）＞2等价为f（x+2）-f（2x）＞f（4）；
即f（x+2）＞f（2x）+f（4）=f（8x）；
则满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{2x＞0}\\{x+2＞8x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＞0}\\{x＜\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜$\frac{2}{7}$．
（5）∵2f（$\frac{m+n}{2}$）=f（（$\frac{m+n}{2}$）²）≥f（（$\sqrt{mn}$）²）=f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（$\frac{m+n}{2}$）≥$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数的关系以及赋值法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．