Question

13．已知函数f（x）=lnx+2x-6
（1）证明：函数f（x）有且只有-个零点；
（2）求该零点所在的-个区间，使这个区间的长度不超过$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 1）先判断函数f（x）=lnx+2x-6在其定义域（0，+∞）上是增函数，再由零点判定定理判断即可．
（2）由（1）知，该零点在区间（1，3）上，从而利用二分法确定区间．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=lnx+2x-6在其定义域（0，+∞）上是增函数，
又∵f（1）=0+2-6＜0，f（3）=ln3＞0；
∴函数f（x）有且只有-个零点；
（2）由（1）知，该零点在区间（1，3）上，
f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0；
故该零点在区间（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故该零点在区间（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-0.5＞0，
故该零点在区间（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$）上．

点评 本题考查了函数的零点的个数的判断与二分法的应用．