Question

4．已知函数f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$（x＞0）．
（1）试确定f（x）的单调区间，并证明你的结论；
（2）若0＜x≤1时，不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号得答案；
（2）由（1）可得当0＜x≤1时，函数f（x）为增函数，求出f（x）在0＜x≤1时的最大值，把不等式f（x）≤m（m-2）恒成立转化为关于m的不等式得答案．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$，得f′（x）=$\frac{9（{x}^{2}+x+1）-9x（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}=\frac{9（1-x）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．
（2）由（1）知，当0＜x≤1时，函数f（x）为增函数，
∴当0＜x≤1时，$f（x）_{max}=f（1）=\frac{9}{3}=3$，
∴要使不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，则m（m-2）≥3，即m²-2m-3≥0，
解得：m≤-1或m≥3．
∴实数m的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了恒成立问题的解法，是中档题．