Question

16．已知x、y满足$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，求y-3x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 设y-3x=t，可得出直线y=3x+t与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1有公共点，联立直线与椭圆方程，得到方程组有解即可解得t的范围，求出t的最大值与最小值，即为x+y的最大值与最小值．

解答 解：设y-3x=t，由于x、y满足$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，
则直线y=3x+t与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1有公共点，故方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1}\end{array}\right.$ 有解，
将直线方程代入椭圆方程，整理得到169x²+96t•x+16（t²-25）=0，
则△=（96t）²-4×169×16（t²-25）=-1600t²+270400≥0，解得-13≤t≤13，
故t=y-3x的最大值和最小值分别为13与-13．

点评 此题考查了直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系由只限于椭圆方程联立的方程组解的个数来判断．