Question

5．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）与g（x）=log_bx（b＞0且b≠1）
（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于x轴对称，求（$\frac{1}{2}$）${\;}^{lo{g}_{2}（ab）}$的值；
（2）当x∈[2，+∞）时，总有|f（x）|＞1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数函数f（x）的图象与g（x）的图象关于x轴对称，得ab=1，再计算（$\frac{1}{2}$）${\;}^{lo{g}_{2}（ab）}$的值；
（2）讨论a＞1与0＜a＜1时，在x∈[2，+∞）时化简|f（x）|＞1，求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）与g（x）=log_bx（b＞0且b≠1），
且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于x轴对称，
∴ab=1，
∴（$\frac{1}{2}$）${\;}^{lo{g}_{2}（ab）}$=${（\frac{1}{2}）}^{{log}_{2}1}$=${（\frac{1}{2}）}^{0}$=1；
（2）若a＞1，则当x∈[2，+∞）时，|f（x）|＞1可化为
log_ax＞1，即x＞a；
∴a＜x，即1＜a＜2，
∴a的取值范围是（1，2）；
若0＜a＜1，则当x∈[2，+∞）时，|f（x）|＞1可化为
log_ax＜-1，即x＞$\frac{1}{a}$；
∴a＞$\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．