Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，分别求出：
（1）z=$\frac{y}{x}$的最大值，最小值；
（2）z=|x-4y+1|的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）z=$\frac{y}{x}$的几何意义为区域内的点与原点的斜率，利用数形结合即可求最大值，最小值；
（2）设m=x-4y，则z=|m+1|，利用m的几何意义先求出m的取值范围即可．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
z=$\frac{y}{x}$的几何意义为区域内的点与原点的斜率，
由图象知OB的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{22}{5}}\end{array}\right.$，即B（1，$\frac{22}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=25}\\{x-4y=-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
则z的最大值为z=$\frac{22}{5}$，最小值z=$\frac{2}{5}$；
（2）设m=x-4y，得y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m，
平移直线y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m，由图象可知当直线y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m和直线AC平行时，直线y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m的截距最小，此时m最大．
此时m=-3，
当直线y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m经过点B时，直线y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$m的截距最大，此时m最小．
此时m=1-4×$\frac{22}{5}$=-$\frac{83}{5}$，
则-$\frac{83}{5}$≤m≤-3，-$\frac{78}{5}$≤m+1≤-2，
则2≤|m+1|≤$\frac{78}{5}$，
即2≤z≤$\frac{78}{5}$，
故z=|x-4y+1|的最大值为$\frac{78}{5}$，最小值为2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．