Question

如果对于函数f（x）的定义域内的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”？
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对任意的x，x₂∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）只需按照定义作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后寻求|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|成立的条件．
（2）利用f（0）=f（1），进行适当放缩外，注意添项减项的技巧应用，即可证得结论．

解答：（1）解：对于任意x₁，x₂∈[0，1]，有0≤x₁+x₂≤2，
∴-1≤x₁+x₂-1≤1，
∴|x₁+x₂-1|≤1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．
（2）证明：当|x₁-x₂|＜

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2

时，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

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2

当|x₁-x₂|≥

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2

时，，x₁，x₂∈[0，1]，不妨设0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≥

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2

，
∵f（0）=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|
≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

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2

+1=

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2

．
∴对任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

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2

．成立．

点评：新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，属于中档题．