Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．如果对于函数f（x）的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数f（x）的上确界．已知函数f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x，g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上确界T（m）．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）．由此可知函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． 
（2）由|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，设t=(

1

2

)x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，-(t+

4

t

)≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立．由此入手，能够求出实数a的取值范围．
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，由m＞0，x∈[0，1]，知g（x）在[0，1]上递减，所以

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

．由此进行分类讨论能够求出T(m)=

| 1-m 1+m  m∈(0 2 2 ] | 1-2m 1+2m  ，m∈[ 2 2 ，+∞)

．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，因为f（x）在（-∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）…（2分）
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．                          …（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立
设t=(

1

2

)x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3
∴-(t+

4

t

)≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立…（6分）
设h(t)=-t-

4

t

，p(t)=

2

t

-t，h（t）在（0，1]上递增；p（t）在（0，1]上递减，h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；p（t）在（0，1]上的最小值为p（1）=1，…（9分）
所以实数a的取值范围为[-5，1]．…（10分）
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，
∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

…（12分）
当|

1-m

1+m

|≥|

1-2m

1+2m

|，即m∈(0，

2

2

]时，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，
当|

1-m

1+m

|＜|

1-2m

1+2m

|，即m∈[

2

2

，+∞)时，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，
综上所述，T(m)=

| 1-m 1+m  m∈(0 2 2 ] | 1-2m 1+2m  ，m∈[ 2 2 ，+∞)

．                    …（16分）

点评：本题考查函数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，正确理解新定义，合理地进行等价转化．