Question

如果对于函数f（x）的定义域内任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

Answer 1

分析：新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x₁）-f（x₂）|，
然后寻求条件：|x₁+x₂-1|≤1．
（2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用即对已知条件f（0）=f（1）的充分利用．
（3）的解答虽有难度，但是不要求证明，难度大大降低，此处可先取定一个m值利用图形的直观性将不难寻求到a的取值范围．

解答：证明：（1）对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
      有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
      从而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
（2）当|x₁-x₂|＜

1

2

时，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
     当|x₁-x₂|≥

1

2

时，因为x₁，x₂∈[0，1]，不妨设0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
     因为f（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
    故对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
     接给出正确结论）（14分）

点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答题，避免盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费力，另外要在充分抓住定义的基础上，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看需要哪些条件才能得出结果，再来寻求转化取得这些条件．