Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为(-

7

3

，0)，求

MA

•

MB

的值．

Answer 1

分析：（1）将直线的点斜式方程（其中斜率为参数）代入椭圆方程，并设出交点A，B的坐标，消去Y后，可得一个关于X的一元二次方程，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数关系）易得A、B两点中点的坐标表达式，再由AB中点的横坐标是-

1

2

，构造方程，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程．
（2）由M点的坐标，我们易给出两个向量的坐标，然后代入平面向量数量集公式，结合韦达定理（一元二次方程根与系数关系），不难不求出

MA

•

MB

的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1) x1+x2=- 6k2 3k2+1 ．(2)

由线段AB中点的横坐标是-

1

2

，得

x1+x2

2

=-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，
解得k=±

3

3

，适合（1）．
所以直线AB的方程为x-

3

y+1=0，或x+

3

y+1=0．
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

．(3)
所以

MA

•

MB

=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+y1y2=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+

7

3

)(x1+x2)+k2+

49

9

.
将（3）代入，整理得

MA

•

MB

=

(k2+1)(3k2-5)+(k2+ 7 3 )(-6k2)

3k2+1

+k2+

49

9

=

4

9

.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，

2

3

)、(-1，-

2

3

)，
此时亦有

MA

•

MB

=

4

9

.
综上，

MA

•

MB

=

4

9

.

点评：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与向量数量积有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．