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090423

 
(本题满分14分)已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.(1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程;(2)在x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(I)x-y+1=0,或x+y+1=0 (Ⅱ)


解析:

(解  (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.…2 分  设A(x1,y1),B(x2,y2),

 
      4分由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.  6分所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.…7分

(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使为常数.

(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1+x2=-,x1x2=.    ③

所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2

将③代入,整理得=+m2=+m2=m2+2m--. 11分注意到是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时=.…12分

(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为

当m=-时,亦有=.综上,在x轴上存在定点M,使为常数.  14分

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在,请说明理由.

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