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090423

 
已知函数

其中

   (I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;

   (II)设函数  是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一

的非零实数),使得成立?若存在,求的值;若不存

在,请说明理由.

(I)(II)


解析:

(I)因,因在区间上不单调,所以上有实数解,且无重根,由

,令,记上单调递减,在上单调递增,所以有,于是,得,而当时有上有两个相等的实根,故舍去,所以

(II)当时有

时有,因为当时不合题意,因此

下面讨论的情形,记A,B=(ⅰ)当时,上单调递增,所以要使成立,只能,因此有,(ⅱ)当时,上单调递减,所以要使成立,只能,因此,综合(ⅰ)(ⅱ)

时A=B,则,即使得成立,因为上单调递增,所以的值是唯一的;

同理,,即存在唯一的非零实数,要使成立,所以满足题意.

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