Question

0423

（本题满分14分）已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) x-y+1=0,或x+y+1=0．   (Ⅱ)

解析:

（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,

将y=k（x+1）代入x²+3y²=5,消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．…2 分

设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,

① ②

则  …4分

由线段AB中点的横坐标是-，

得=-=-,解得k=±，适合①．         ……………6分

所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分

（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．

（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知

x₁+x₂=-,x₁x₂=． ③

所以=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁+1）（x₂+1）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²．9分

将③代入，整理得=+m²=+m²

=m²+2m--．…11分注意到是与k无关的常数，从而有

6m+14=0，m=-，此时=．……12分

（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，

当m=-时，亦有=．综上，在x轴上存在定点M，使为常数．14分