Question

9．已知cosαcosβ=cosα+cosβ+3，则sin（α+β）=0．

Answer 1

分析 利用三角函数的有界性进行求解即可．

解答 解：∵-1≤cosα≤1，-1≤cosβ≤1，
∴-1≤cosαcosβ≤1，
-2≤cosα+cosβ≤2，
1≤cosα+cosβ+3≤5，
若cosαcosβ=cosα+cosβ+3，
则cosαcosβ=1，cosα+cosβ+3=1，
当且仅当cosα=cosβ=-1，
即α=2kπ+π，β=2mπ+π，
则α+β=（2kπ+π+2mπ+π）=2（k+m+1）π，
则sin（α+β）=sin（2（k+m+1）π=0，
故答案为：0

点评 本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的有界性是解决本题的关键．