Question

17．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上的一个动点P向x轴引垂线交于M，延长MP到N（P在MN中间）使$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ＞0，λ≠1），所得N点轨迹与椭圆有相同的离心率，则λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 确定N点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ²y²=1，利用N点轨迹与椭圆有相同的离心率，建立方程，即可求出λ．

解答 解：设N（x，y），P（x，y₀），M（x，0），所以（0，y₀）=λ（0，y），则y₀=λy，
∴N点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ²y²=1，
∵λ＞0，λ≠1，
故轨迹是焦点在y轴上的椭圆，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{{λ}^{2}}-2}{\frac{1}{{λ}^{2}}}}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．