Question

5．设0≤x≤2，则函数f（x）=$\frac{1}{2}$×4^x-3•2^x+5的最大值是$\frac{5}{2}$，最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用换元法设t=2^x，将函数转化为关于t的一元二次函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$×4^x-3•2^x+5=$\frac{1}{2}$×（2^x）²-3•2^x+5，
设t=2^x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
则函数f（x）等价为y=g（t）=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，
当t=3时，函数取得最小值$\frac{1}{2}$，
当t=1时，函数取得最大值$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．