Question

15．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，$∠BAC=\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1]
• C． （$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）
• D． [$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）

Answer 1

分析 根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．

解答 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），
G（$\frac{1}{2}$，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
由于GD⊥EF，所以x+2y-1=0
DF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{5（y-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$
当y=$\frac{2}{5}$时，线段DF长度的最小值是$\frac{1}{\sqrt{5}}$
当y=1时，线段DF长度的最大值是 1
而不包括端点，故y=1不能取；
故选：A．

点评 本小题主要考查点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．