Question

10．已知椭圆的两焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求此椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线y=$\frac{x}{2}$+m与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x，y）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1，两式相减并代入x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可得出，由P在椭圆内部，可求得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x，y）．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1．
两式相减得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2x}{4}+2y×\frac{1}{2}$=0，化为x+2y=0．
∵P在椭圆内部，可求得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为x+2y=0，（$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．